Hình học đẹp bởi vì, trái ngược với đại số, không phải lúc nào nó cũng rõ ràng bạn nghĩ gì và tại sao, nó mang lại khả năng hiển thị cho vật thể. Thế giới tuyệt vời của nhiều cơ thể khác nhau được trang trí bằng các khối đa diện đều đặn.
Thông tin chung về khối đa diện đều
Theo nhiều người, các khối đa diện đều, hay còn được gọi là chất rắn Platonic, có các đặc tính độc đáo. Một số giả thuyết khoa học liên quan đến những vật thể này. Khi bạn bắt đầu nghiên cứu các khối hình học này, bạn hiểu rằng thực tế bạn không biết gì về một khái niệm như khối đa diện đều. Việc trình bày những đồ vật này ở trường không phải lúc nào cũng thú vị, vì vậy nhiều người thậm chí không nhớ chúng được gọi là gì. Hầu hết mọi người chỉ nhớ khối lập phương. Không có khối nào trong hình học hoàn hảo như khối đa diện đều. Tất cả tên của các khối hình học này đều có nguồn gốc từ Hy Lạp cổ đại. Chúng có nghĩa là số mặt: tứ diện - bốn mặt, lục diện - sáu mặt, bát diện - bát diện, khối đa diện - mười hai mặt, icosahedron - hai mặt. Tất cả các cơ thể hình học nàychiếm một vị trí quan trọng trong quan niệm của Plato về vũ trụ. Bốn trong số chúng đã nhân cách hóa các nguyên tố hoặc thực thể: khối tứ diện - lửa, khối icosahed - nước, khối lập phương - đất, khối bát diện - không khí. Khối mười hai mặt là hiện thân của mọi thứ tồn tại. Nó được coi là chính vì nó là biểu tượng của vũ trụ.
Đại cương về khái niệm khối đa diện
Một hình đa diện là tập hợp của một số hữu hạn các đa giác sao cho:
- mỗi cạnh của bất kỳ đa giác nào đồng thời là cạnh của một đa giác khác ở cùng một phía;
- từ mỗi đa giác, bạn có thể đến với những đa giác khác bằng cách đi dọc theo các đa giác liền kề với nó.
Các đa giác tạo nên một hình đa diện là các mặt của nó và các mặt của chúng là các cạnh. Các đỉnh của khối đa diện là các đỉnh của đa giác. Nếu khái niệm đa giác được hiểu là những đường đứt gãy phẳng đóng kín, thì người ta đi đến một định nghĩa về hình đa diện. Trong trường hợp khái niệm này có nghĩa là một phần của mặt phẳng được giới hạn bởi các đường đứt đoạn, thì một bề mặt bao gồm các mảnh đa giác nên được hiểu. Hình đa diện lồi là một vật thể nằm trên một mặt của mặt phẳng tiếp giáp với mặt của nó.
Một định nghĩa khác về khối đa diện và các yếu tố của nó
Một hình đa diện là một bề mặt bao gồm các đa giác giới hạn một hình học. Đó là:
- không lồi;
- lồi (đúng và sai).
Hình đa diện đều là hình đa diện lồi có độ đối xứng cực đại. Các phần tử của khối đa diện đều:
- tứ diện: 6 cạnh, 4 mặt, 5 đỉnh;
- hexahedron (khối lập phương): 12, 6, 8;
- khối đa diện: 30, 12, 20;
- bát diện: 12, 8, 6;
- icosahedron: 30, 20, 12.
Định lý Euler
Nó thiết lập mối quan hệ giữa số cạnh, đỉnh và mặt tương đương về mặt cấu trúc liên kết với một hình cầu. Bằng cách cộng số đỉnh và mặt (B + D) của các khối đa diện đều khác nhau và so sánh chúng với số cạnh, có thể thiết lập một mẫu: tổng số mặt và đỉnh bằng số cạnh (P) tăng lên bằng 2. Bạn có thể suy ra một công thức đơn giản:
B + D=R + 2
Công thức này đúng cho tất cả các khối đa diện lồi.
Định nghĩa cơ bản
Khái niệm về một khối đa diện đều không thể được mô tả trong một câu. Nó có ý nghĩa và đồ sộ hơn. Để một cơ thể được công nhận như vậy, nó phải đáp ứng một số định nghĩa. Vì vậy, một khối hình học sẽ là một khối đa diện đều nếu các điều kiện sau được đáp ứng:
- nó lồi;
- cùng một số cạnh hội tụ tại mỗi đỉnh của nó;
- tất cả các mặt của nó là đa giác đều, bằng nhau;
- tất cả các góc nhị diện của nó đều bằng nhau.
Tính chất của khối đa diện đều
Có 5 loại khối đa diện đều:
- Cube (lục diện) - nó có một góc phẳng ở đỉnh là 90 °. Nó có một góc 3 cạnh. Tổng các góc phẳng ở đỉnh là 270 °.
- Hình tứ diện - góc phẳng ở đỉnh - 60 °. Nó có một góc 3 cạnh. Tổng các góc phẳng ở đỉnh là 180 °.
- Hình bát diện - góc đỉnh phẳng - 60 °. Nó có một góc 4 mặt. Tổng các góc phẳng ở đỉnh là 240 °.
- Khối lập phương - góc phẳng ở đỉnh 108 °. Nó có một góc 3 cạnh. Tổng các góc phẳng ở đỉnh là 324 °.
- Icosahedron - nó có một góc phẳng ở đỉnh - 60 °. Nó có một góc 5 cạnh. Tổng các góc phẳng ở đỉnh là 300 °.
Diện tích khối đa diện đều
Diện tích bề mặt của các khối hình học này (S) được tính bằng diện tích của một đa giác đều nhân với số mặt của nó (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π / p
Thể tích của một khối đa diện đều
Giá trị này được tính bằng cách nhân thể tích của một hình chóp đều, có đáy là một đa giác đều, với số mặt và chiều cao của nó là bán kính của hình cầu nội tiếp (r):
V=1: 3rS
Thể tích của khối đa diện đều
Giống như bất kỳ khối hình học nào khác, khối đa diện đều có thể tích khác nhau. Dưới đây là các công thức mà bạn có thể tính toán chúng:
- tứ diện: α x 3√2: 12;
- bát diện: α x 3√2: 3;
- icosahedron; α x 3;
- lục diện (lập phương): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- khối đa diện: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Các phần tử của khối đa diện đều
Lục diện và bát diện là các thể hình học kép. Nói cách khác, chúng có thể nhận được từ nhau nếu lấy trọng tâm của mặt này làm đỉnh của mặt kia và ngược lại. Khối icosahedron và khối mười hai mặt cũng là đối ngẫu. Chỉ có tứ diện là đối ngẫu với chính nó. Theo phương pháp Euclid, bạn có thể lấy một khối đa diện từ một khối lục diện bằng cách xây dựng các "mái" trên các mặt của một khối lập phương. Các đỉnh của một tứ diện sẽ là 4 đỉnh bất kỳ của một hình lập phương không kề nhau theo từng cặp dọc theo một cạnh. Từ khối lục diện (khối lập phương), bạn có thể nhận được các khối đa diện đều khác. Mặc dù thực tế là có vô số đa giác đều nhưng chỉ có 5 hình đa diện đều.
Bán kính của đa giác đều
Có 3 hình cầu đồng tâm liên kết với mỗi khối hình học này:
- được mô tả, đi qua các đỉnh của nó;
- được ghi, chạm vào từng khuôn mặt của nó ở trung tâm của nó;
- giữa, chạm vào tất cả các cạnh ở giữa.
Bán kính của hình cầu được mô tả được tính theo công thức sau:
R=a: 2 x tg π / g x tg θ: 2
Bán kính của mặt cầu nội tiếp được tính theo công thức:
R=a: 2 x ctg π / p x tg θ: 2,
trong đó θ là góc nhị diện giữa các mặt liền kề.
Bán kính của hình cầu trung tuyến có thể được tính theo công thức sau:
ρ=a cos π / p: 2 sin π / h,
trong đó giá trị h=4, 6, 6, 10 hoặc 10. Tỷ số bán kính đường tròn và nội tiếp đối xứng với p và q. Nóđược tính theo công thức:
R / r=tg π / p x tg π / q
Tính đối xứng của khối đa diện
Tính đối xứng của các khối đa diện đều gây ra sự quan tâm chính trong các thể hình học này. Nó được hiểu là chuyển động của vật thể trong không gian, để lại cùng một số đỉnh, mặt và cạnh. Nói cách khác, dưới tác dụng của phép biến đổi đối xứng, một cạnh, đỉnh, mặt vẫn giữ nguyên vị trí ban đầu của nó hoặc di chuyển về vị trí ban đầu của một cạnh, đỉnh hoặc mặt khác.
Yếu tố đối xứng của khối đa diện đều là đặc trưng của tất cả các dạng hình học đó. Ở đây chúng ta đang nói về một phép biến hình giống hệt nhau mà để lại bất kỳ điểm nào ở vị trí ban đầu của nó. Vì vậy, khi bạn quay một lăng trụ đa giác, bạn có thể nhận được một số đối xứng. Bất kỳ trong số chúng có thể được biểu diễn như một sản phẩm của phản xạ. Phép đối xứng là sản phẩm của một số phản xạ chẵn được gọi là đường thẳng. Nếu nó là tích của một số lẻ các phản xạ, thì nó được gọi là nghịch đảo. Vì vậy, tất cả các phép quay về một đoạn thẳng là đối xứng trực tiếp. Bất kỳ phản xạ nào của một hình đa diện đều là một phép đối xứng nghịch đảo.
Để hiểu rõ hơn về các yếu tố đối xứng của khối đa diện đều, chúng ta có thể lấy ví dụ về một khối tứ diện. Bất kỳ đường thẳng nào sẽ đi qua một trong các đỉnh và tâm của hình hình học này cũng sẽ đi qua tâm của mặt đối diện với nó. Mỗi 120 ° và 240 ° quay quanh dòng là số nhiều.đối xứng của tứ diện. Vì nó có 4 đỉnh và 4 mặt nên chỉ có tám phép đối xứng trực tiếp. Bất kỳ đường thẳng nào đi qua giữa cạnh và tâm của cơ thể này đi qua giữa cạnh đối diện của nó. Bất kỳ phép quay 180 ° nào, được gọi là nửa quay, xung quanh một đường thẳng là một phép đối xứng. Vì tứ diện đều có ba cặp cạnh nên có thêm ba cạnh đối xứng trực tiếp. Dựa trên những điều đã nói ở trên, chúng ta có thể kết luận rằng tổng số phép đối xứng trực tiếp, bao gồm cả phép biến đổi giống hệt nhau, sẽ lên tới mười hai. Hình tứ diện không có đối xứng trực tiếp nào khác, nhưng nó có 12 đối xứng nghịch đảo. Do đó, tứ diện được đặc trưng bởi tổng số 24 đối xứng. Để rõ ràng hơn, bạn có thể xây dựng mô hình của một tứ diện đều từ bìa cứng và đảm bảo rằng khối hình học này thực sự chỉ có 24 đối xứng.
Khối mười hai mặt và khối icosahedron gần nhất với mặt cầu của cơ thể. Khối lập phương có số mặt lớn nhất, góc của khối nhị diện lớn nhất và có thể ép chặt nhất vào một mặt cầu nội tiếp. Khối đa diện đều có khuyết góc nhỏ nhất, góc đặc ở đỉnh lớn nhất. Anh ấy có thể lấp đầy hình cầu được mô tả của mình ở mức tối đa.
Quét các khối đa diện
Khối đa diện không bọc thông thường, mà tất cả chúng ta đều gắn bó với nhau thời thơ ấu, có nhiều khái niệm. Nếu có một tập hợp các đa giác, mỗi cạnh của chúng chỉ được xác định bằng một mặt của khối đa diện, thì việc xác định các cạnh đó phải đáp ứng hai điều kiện:
- từ mỗi đa giác, bạn có thể đi qua các đa giác cóbên xác định;
- các cạnh được xác định phải có cùng độ dài.
Tập các đa giác thỏa mãn các điều kiện này được gọi là khai triển của đa diện. Mỗi cơ quan này có một số trong số chúng. Vì vậy, ví dụ, một khối lập phương có 11 trong số chúng.
