Lý thuyết xác suất là một nhánh đặc biệt của toán học, chỉ được nghiên cứu bởi sinh viên của các cơ sở giáo dục đại học. Bạn yêu thích các phép tính và công thức? Bạn không sợ triển vọng làm quen với phân phối chuẩn, entropy của tập hợp, kỳ vọng toán học và phương sai của một biến ngẫu nhiên rời rạc? Thì môn học này sẽ được nhiều bạn quan tâm. Hãy cùng làm quen với một số khái niệm cơ bản quan trọng nhất của phần khoa học này.
Nhắc lại những điều cơ bản
Ngay cả khi bạn nhớ những khái niệm đơn giản nhất của lý thuyết xác suất, đừng bỏ qua những đoạn đầu tiên của bài viết. Thực tế là nếu không hiểu rõ về những điều cơ bản, bạn sẽ không thể làm việc với các công thức được thảo luận dưới đây.
Vì vậy, có một số sự kiện ngẫu nhiên, một số thử nghiệm. Kết quả của các hành động được thực hiện, chúng ta có thể nhận được một số kết quả - một số trong số đó phổ biến hơn, những kết quả khác ít phổ biến hơn. Xác suất của một sự kiện là tỷ số giữa số kết quả thực sự nhận được của một loại trên tổng số kết quả có thể xảy ra. Chỉ khi biết định nghĩa cổ điển của khái niệm này, bạn có thể bắt đầu nghiên cứu kỳ vọng toán học và phương sai của liên tụcbiến ngẫu nhiên.
Số học có nghĩa là
Ngay cả ở trường, trong các giờ học toán, bạn đã bắt đầu làm việc với trung bình cộng. Khái niệm này được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết xác suất, và do đó nó không thể bị bỏ qua. Điều chính đối với chúng tôi lúc này là chúng tôi sẽ gặp nó trong các công thức cho kỳ vọng toán học và phương sai của một biến ngẫu nhiên.
Chúng ta có một dãy số và muốn tìm giá trị trung bình cộng. Tất cả những gì cần thiết của chúng ta là tính tổng mọi thứ có sẵn và chia cho số phần tử trong dãy. Giả sử chúng ta có các số từ 1 đến 9. Tổng các phần tử sẽ là 45, và chúng ta sẽ chia giá trị này cho 9. Trả lời: - 5.
Tán
Nói một cách khoa học, phương sai là bình phương trung bình của độ lệch của các giá trị đặc trưng thu được từ giá trị trung bình số học. Một được ký hiệu bằng chữ cái Latinh viết hoa D. Cần gì để tính toán nó? Đối với mỗi phần tử của dãy, chúng tôi tính toán hiệu giữa số có sẵn và trung bình cộng và bình phương nó. Sẽ có chính xác bao nhiêu giá trị có thể có cho sự kiện chúng ta đang xem xét. Tiếp theo, chúng tôi tóm tắt mọi thứ nhận được và chia cho số phần tử trong dãy. Nếu chúng ta có năm kết quả có thể xảy ra, thì hãy chia cho năm.
Dispersion cũng có những tính chất mà bạn cần nhớ để áp dụng khi giải bài tập. Ví dụ: nếu biến ngẫu nhiên được tăng lên X lần, thì phương sai sẽ tăng lên X nhân với bình phương (tức là XX). Nó không bao giờ nhỏ hơn 0 và không phụ thuộc vàodịch chuyển các giá trị bằng một giá trị bằng nhau lên hoặc xuống. Ngoài ra, đối với các thử nghiệm độc lập, phương sai của tổng bằng tổng phương sai.
Bây giờ chúng ta chắc chắn cần xem xét các ví dụ về phương sai của một biến ngẫu nhiên rời rạc và kỳ vọng toán học.
Giả sử chúng tôi chạy 21 thử nghiệm và nhận được 7 kết quả khác nhau. Chúng tôi quan sát từng người trong số họ lần lượt là 1, 2, 2, 3, 4, 4 và 5 lần. Phương sai sẽ là gì?
Đầu tiên, hãy tính trung bình cộng: tổng các phần tử, tất nhiên, là 21. Chia cho 7, được 3. Bây giờ, trừ 3 cho mỗi số trong dãy ban đầu, bình phương mỗi giá trị và cộng kết quả với nhau. Hóa ra là 12. Bây giờ chúng ta vẫn phải chia số cho số phần tử, và dường như chỉ có vậy. Nhưng có một nhược điểm! Hãy thảo luận về nó.
Phụ thuộc vào số lượng thử nghiệm
Hóa ra khi tính phương sai, mẫu số có thể là một trong hai số: N hoặc N-1. Ở đây N là số thí nghiệm được thực hiện hoặc số phần tử trong dãy (thực tế là như nhau). Nó phụ thuộc vào cái gì?
Nếu số lượng bài kiểm tra được đo bằng hàng trăm thì ta phải đặt N ở mẫu số, nếu tính theo đơn vị thì N-1. Các nhà khoa học quyết định vẽ đường viền khá tượng trưng: ngày nay nó chạy dọc theo số 30. Nếu chúng tôi tiến hành ít hơn 30 thí nghiệm, thì chúng tôi sẽ chia số tiền cho N-1, và nếu nhiều hơn, thì cho N.
Nhiệm vụ
Hãy quay lại ví dụ của chúng ta về việc giải bài toán phương sai và kỳ vọng. chúng tôinhận được một số trung gian là 12, số này phải chia cho N hoặc N-1. Vì chúng tôi đã thực hiện 21 thí nghiệm, nhỏ hơn 30, chúng tôi sẽ chọn tùy chọn thứ hai. Vì vậy, câu trả lời là: phương sai là 12/2=2.
Mong đợi
Hãy chuyển sang khái niệm thứ hai, mà chúng ta phải xem xét trong bài viết này. Kỳ vọng toán học là kết quả của việc cộng tất cả các kết quả có thể nhân với các xác suất tương ứng. Điều quan trọng là phải hiểu rằng giá trị kết quả, cũng như kết quả của việc tính toán phương sai, chỉ nhận được một lần cho toàn bộ nhiệm vụ, bất kể nó có xem xét bao nhiêu kết quả.
Công thức kỳ vọng khá đơn giản: chúng ta lấy một kết quả, nhân nó với xác suất của nó, cộng tương tự cho kết quả thứ hai, thứ ba, v.v. Mọi thứ liên quan đến khái niệm này đều dễ dàng tính toán. Ví dụ, tổng các kỳ vọng toán học bằng kỳ vọng toán học của tổng. Điều này cũng đúng với tác phẩm. Không phải mọi đại lượng trong lý thuyết xác suất đều cho phép thực hiện các phép toán đơn giản như vậy. Hãy thực hiện một nhiệm vụ và tính giá trị của hai khái niệm chúng ta đã nghiên cứu cùng một lúc. Ngoài ra, chúng tôi bị phân tâm bởi lý thuyết - đã đến lúc thực hành.
Một ví dụ khác
Chúng tôi đã chạy 50 thử nghiệm và nhận được 10 loại kết quả - các số từ 0 đến 9 - xuất hiện với các tỷ lệ phần trăm khác nhau. Lần lượt là: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Nhớ lại rằng để có các xác suất, bạn cần chia các giá trị phần trăm cho 100. Như vậy, chúng ta nhận được 0,02; 0, 1, v.v. Hãy để chúng tôi đại diện cho phương sai của một ngẫu nhiêngiá trị và kỳ vọng toán học ví dụ về việc giải quyết vấn đề.
Tính trung bình cộng bằng cách sử dụng công thức mà chúng ta nhớ được từ trường tiểu học: 50/10=5.
Bây giờ chúng ta hãy chuyển các xác suất thành số kết quả "theo từng phần" để dễ tính hơn. Chúng ta nhận được 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 và 9. Lấy mỗi giá trị thu được trừ trung bình cộng, sau đó chúng ta bình phương từng kết quả thu được. Hãy xem cách thực hiện việc này bằng cách sử dụng phần tử đầu tiên làm ví dụ: 1 - 5=(-4). Hơn nữa: (-4)(-4)=16. Đối với các giá trị khác, hãy tự thực hiện các thao tác này. Nếu bạn đã làm đúng mọi thứ, thì sau khi cộng tất cả các kết quả trung gian, bạn sẽ nhận được 90.
Tiếp tục tính phương sai và giá trị trung bình bằng cách chia 90 cho N. Tại sao chúng ta chọn N chứ không phải N-1? Đúng vậy, vì số thí nghiệm thực hiện vượt quá 30. Vậy: 90/10=9. Ta có độ phân tán. Nếu bạn nhận được một số khác, đừng thất vọng. Rất có thể, bạn đã mắc một lỗi nhỏ trong các phép tính. Kiểm tra kỹ những gì bạn đã viết, và mọi thứ chắc chắn sẽ vào đúng vị trí.
Cuối cùng, chúng ta hãy nhớ công thức kỳ vọng. Chúng tôi sẽ không đưa ra tất cả các phép tính, chúng tôi sẽ chỉ viết câu trả lời mà bạn có thể kiểm tra sau khi hoàn thành tất cả các thủ tục cần thiết. Kỳ vọng sẽ bằng 5, 48. Chúng tôi chỉ nhắc lại cách thực hiện các phép toán, sử dụng ví dụ về các phần tử đầu tiên: 00, 02 + 10, 1…, v.v. Như bạn có thể thấy, chúng tôi chỉ cần nhân giá trị của kết quả với xác suất của nó.
Lệch
Một khái niệm khác liên quan chặt chẽ đến phương sai và giá trị kỳ vọng làđộ lệch chuẩn. Nó được biểu thị bằng các chữ cái Latinh sd, hoặc bằng chữ thường Hy Lạp "sigma". Khái niệm này cho biết trung bình các giá trị lệch khỏi đối tượng địa lý trung tâm như thế nào. Để tìm giá trị của nó, bạn cần tính căn bậc hai của phương sai.
Nếu bạn xây dựng một biểu đồ có phân phối chuẩn và muốn xem giá trị của độ lệch chuẩn trực tiếp trên nó, thì việc này có thể được thực hiện trong nhiều giai đoạn. Lấy một nửa hình ảnh ở bên trái hoặc bên phải của chế độ (giá trị trung tâm), vẽ vuông góc với trục hoành sao cho diện tích của các hình thu được bằng nhau. Giá trị của phân đoạn giữa điểm giữa của phân phối và hình chiếu kết quả lên trục hoành sẽ là độ lệch chuẩn.
Phần mềm
Như bạn có thể thấy từ mô tả của các công thức và các ví dụ được trình bày, tính toán phương sai và kỳ vọng toán học không phải là thủ tục dễ dàng nhất theo quan điểm số học. Để không lãng phí thời gian, bạn nên sử dụng chương trình được sử dụng trong giáo dục đại học - nó được gọi là "R". Nó có các chức năng cho phép bạn tính toán các giá trị cho nhiều khái niệm từ thống kê và lý thuyết xác suất.
Ví dụ: bạn xác định một vectơ giá trị. Điều này được thực hiện như sau: vector <-c (1, 5, 2…). Bây giờ, khi bạn cần tính một số giá trị cho vectơ này, bạn viết một hàm và cung cấp cho nó như một đối số. Để tìm phương sai, bạn sẽ cần sử dụng var. Một ví dụ về cô ấycách sử dụng: var (vector). Sau đó bạn chỉ cần nhấn "enter" và nhận kết quả.
Trong kết luận
Phương sai và kỳ vọng toán học là những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất, nếu không có nó thì rất khó để tính toán bất cứ điều gì trong tương lai. Trong quá trình giảng dạy chính ở các trường đại học, họ được coi là đã ở trong những tháng đầu tiên của việc nghiên cứu môn học. Chính vì sự thiếu hiểu biết về những khái niệm đơn giản này và không có khả năng tính toán chúng mà nhiều sinh viên ngay lập tức bắt đầu bị tụt lại trong chương trình và sau đó bị điểm kém vào cuối buổi, khiến họ bị tước học bổng.
Thực hành ít nhất một tuần trong nửa giờ mỗi ngày, giải quyết các vấn đề tương tự như những vấn đề được trình bày trong bài viết này. Sau đó, trong bất kỳ bài kiểm tra lý thuyết xác suất nào, bạn sẽ đối phó với các ví dụ mà không có các mẹo và bảng gian lận không liên quan.
