Khả năng làm việc với các biểu thức số có chứa căn bậc hai là cần thiết để giải thành công một số bài toán từ OGE và SỬ DỤNG. Trong các kỳ thi này, bạn thường chỉ cần hiểu cơ bản về nhổ rễ là gì và cách thực hiện trong thực tế là đủ.
Định nghĩa
Căn bậc n của số X là số x mà đẳng thức là đúng: xn=X.
Tìm giá trị của biểu thức có căn nghĩa là tìm x cho trước X và n.
Căn bậc hai hoặc căn bậc hai của X - số x thỏa mãn đẳng thức: x2=X.
Chỉ định: ∛Х. Ở đây 3 là bậc của căn, X là biểu thức căn. Dấu '√' thường được gọi là dấu căn.
Nếu số phía trên gốc không biểu thị mức độ, thì giá trị mặc định là mức độ 2.
Trong một khóa học ở trường cho các cấp độ chẵn, các gốc âm và các biểu thức cấp tiến thường không được xem xét. Ví dụ, không có√-2 và đối với biểu thức √4, câu trả lời đúng là 2, mặc dù thực tế là (-2)2cũng bằng 4.
Tính hợp lý và bất hợp lý của gốc rễ
Nhiệm vụ đơn giản nhất có thể với một gốc là tìm giá trị của một biểu thức hoặc kiểm tra tính hợp lý của nó.
Ví dụ, tính các giá trị √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 vì 52=25;
- ∛8=2 vì 23=8;
- ∛ - 125=-5 vì (-5)3=-125.
Các câu trả lời trong các ví dụ đã cho là số hữu tỉ.
Khi làm việc với các biểu thức không chứa hằng và biến theo nghĩa đen, bạn nên luôn thực hiện kiểm tra như vậy bằng cách sử dụng phép toán nghịch đảo nâng lên thành lũy thừa tự nhiên. Tìm số x đến lũy thừa thứ n tương đương với việc tính tích của n thừa số của x.
Có nhiều biểu thức có căn, giá trị của nó là vô tỉ, nghĩa là, được viết dưới dạng phân số vô hạn không tuần hoàn.
Theo định nghĩa, số hữu tỉ là những số có thể được biểu diễn dưới dạng một phân số chung và số vô tỉ là tất cả các số thực khác.
Chúng bao gồm √24, √0, 1, √101.
Nếu sách bài toán nói: tìm giá trị của biểu thức có căn là 2, 3, 5, 6, 7, v.v., tức là từ những số tự nhiên không có trong bảng ô vuông, thì câu trả lời đúng là √ 2 có thể có (trừ khi có quy định khác).
Đánh giá
Có vấn đề vớimột câu trả lời mở, nếu không thể tìm thấy giá trị của biểu thức có căn và viết nó dưới dạng số hữu tỉ, thì kết quả sẽ được để dưới dạng căn.
Một số bài tập có thể yêu cầu đánh giá. Ví dụ, so sánh 6 và √37. Giải pháp yêu cầu bình phương cả hai số và so sánh kết quả. Trong hai số, số nào có bình phương lớn hơn thì lớn hơn. Quy tắc này hoạt động với tất cả các số dương:
- 62=36;
- 372=37;
- 37 >36;
- có nghĩa là √37 > 6.
Theo cách tương tự, các vấn đề được giải quyết trong đó một số số phải được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần.
Ví dụ: Sắp xếp 5, √6, √48, √√64 theo thứ tự tăng dần.
Sau khi bình phương, ta có: 25, 6, 48, √64. Người ta có thể bình phương tất cả các số một lần nữa để so sánh chúng với √64, nhưng nó bằng số hữu tỉ 8. 6 < 8 < 25 < 48, vì vậy giải pháp là: 48.
Đơn giản hóa biểu thức
Điều xảy ra là không thể tìm thấy giá trị của một biểu thức có căn, vì vậy nó phải được đơn giản hóa. Công thức sau giúp giải quyết vấn đề này:
√ab=√a√b.
Căn của tích của hai số bằng tích của chúng. Phép toán này cũng sẽ yêu cầu khả năng phân tích một số.
Ở giai đoạn đầu, để đẩy nhanh tiến độ công việc, bạn nên chuẩn bị sẵn một bảng các số nguyên tố và bình phương. Những bảng này thường xuyênsử dụng trong tương lai sẽ được ghi nhớ.
Ví dụ: √242 là số vô tỉ, bạn có thể chuyển đổi nó như sau:
- 242=2 × 121;
- √242=√ (2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Thông thường kết quả được viết là 11√2 (đọc là: mười một căn trên hai).
Nếu khó thấy ngay một số cần được phân tách thành hai thừa số nào để có thể lấy ra một gốc tự nhiên từ một trong số chúng, bạn có thể sử dụng phép phân hủy đầy đủ thành các thừa số nguyên tố. Nếu cùng một số nguyên tố xảy ra hai lần trong khai triển, nó sẽ bị loại ra khỏi dấu căn. Khi có nhiều yếu tố, bạn có thể giải nén gốc theo vài bước.
Ví dụ: √2400=√ (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Số 2 xuất hiện trong khai triển 2 lần (thực tế là nhiều hơn hai lần, nhưng chúng tôi vẫn quan tâm đến hai lần xuất hiện đầu tiên trong khai triển).
Chúng tôi lấy nó ra từ dưới ký hiệu gốc:
√ (2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√ (2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Lặp lại hành động tương tự:
2√ (2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√ (2 × 3 × 5 × 5).
Trong biểu thức căn còn lại, 2 và 3 xảy ra một lần, vì vậy nó vẫn phải lấy ra thừa số 5:
2 × 2√ (2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√ (2 × 3);
và thực hiện các phép tính số học:
5 × 2 × 2√ (2 × 3)=20√6.
Vì vậy, chúng tôi nhận được √2400=20√6.
Nếu nhiệm vụ không nêu rõ ràng: "tìm giá trị của biểu thức với căn bậc hai", thì lựa chọn,Việc để lại câu trả lời ở dạng nào (có nên giải nén từ gốc từ dưới gốc hay không) vẫn còn với học sinh và có thể phụ thuộc vào vấn đề được giải.
Lúc đầu, các yêu cầu cao được đặt ra đối với việc thiết kế các nhiệm vụ, tính toán, kể cả bằng miệng hoặc bằng văn bản, mà không sử dụng các phương tiện kỹ thuật.
Chỉ sau khi thành thạo các quy tắc làm việc với biểu thức số vô tỷ, việc chuyển sang các biểu thức chữ khó hơn và giải các phương trình vô tỷ cũng như tính phạm vi các giá trị có thể có của biểu thức dưới hàm cấp tiến.
Học sinh gặp dạng vấn đề này tại Kỳ thi Thống nhất Quốc gia môn toán, cũng như năm nhất đại học chuyên ngành khi học giải tích toán học và các ngành liên quan.
