Ma trận và định thức được phát hiện vào thế kỷ XVIII và XIX. Ban đầu, sự phát triển của họ liên quan đến sự biến đổi của các đối tượng hình học và giải pháp của hệ phương trình tuyến tính. Về mặt lịch sử, sự nhấn mạnh ban đầu là yếu tố quyết định. Trong các phương pháp xử lý đại số tuyến tính hiện đại, ma trận được xem xét đầu tiên. Câu hỏi này đáng để suy ngẫm một lúc.
Câu trả lời từ lĩnh vực kiến thức này
Ma trận cung cấp một cách hữu ích về mặt lý thuyết và thực tế để giải quyết nhiều vấn đề, chẳng hạn như:
- hệ phương trình tuyến tính;
- cân bằng của chất rắn (trong vật lý);
- lý thuyết đồ thị;
- Mô hình kinh tế của Leontief;
- lâm;
- đồ họa máy tính và chụp cắt lớp;
- di truyền;
- mật mã;
- mạng điện;
- fractal.
Trên thực tế, đại số ma trận cho "hình nộm" có một định nghĩa đơn giản. Nó được diễn đạt như sau: đây là một lĩnh vực khoa học của tri thức trong đócác giá trị được đề cập được nghiên cứu, phân tích và khám phá đầy đủ. Trong phần đại số này, các phép toán khác nhau trên các ma trận đang nghiên cứu sẽ được nghiên cứu.
Cách làm việc với ma trận
Các giá trị này được coi là bằng nhau nếu chúng có cùng kích thước và mỗi phần tử của một phần tử này bằng phần tử tương ứng của phần tử kia. Có thể nhân một ma trận với bất kỳ hằng số nào. Điều này đã cho được gọi là phép nhân vô hướng. Ví dụ: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Các ma trận có cùng kích thước có thể được cộng và trừ bằng các đầu vào, và các giá trị có kích thước tương thích có thể được nhân lên. Ví dụ: cộng hai A và B: A=[21−10] B=[1423]. Điều này có thể thực hiện được vì A và B đều là ma trận có hai hàng và cùng số cột. Cần thêm từng phần tử trong A với phần tử tương ứng trong B: A + B=[2 + 11 + 2−1 + 40 + 3]=[3333]. Các ma trận được trừ theo cách tương tự trong đại số.
Phép nhân ma trận hoạt động hơi khác một chút. Hơn nữa, có thể có nhiều trường hợp và các lựa chọn, cũng như các giải pháp. Nếu chúng ta nhân ma trận Apq và Bmn, thì tích Ap × q + Bm × n=[AB] p × n. Mục nhập ở hàng thứ g và cột thứ h của AB là tổng tích của các mục nhập tương ứng trong g A và h B. Chỉ có thể nhân hai ma trận nếu số cột ở đầu tiên và hàng ở thứ hai bằng nhau. Ví dụ: thỏa mãn điều kiện cho A và B đã xét: A=[1−130] B=[2−11214]. Điều này có thể thực hiện được vì ma trận đầu tiên chứa 2 cột và ma trận thứ hai chứa 2 hàng. AB=[1⋅2 + 3⋅ − 1−1⋅2 + 0⋅ − 11⋅1 + 3⋅2−1⋅1 + 0⋅21⋅1 + 3⋅4−1⋅1 + 0⋅4]=[−1−27−113−1].
Thông tin cơ bản về ma trận
Các giá trị được đề cập sắp xếp thông tin như biến và hằng số và lưu trữ chúng trong các hàng và cột, thường được gọi là C. Mỗi vị trí trong ma trận được gọi là một phần tử. Ví dụ: C=[1234]. Gồm hai hàng và hai cột. Phần tử 4 nằm ở hàng 2 và cột 2. Bạn thường có thể đặt tên ma trận theo kích thước của nó, ma trận có tên Cmk có m hàng và k cột.
Ma trận mở rộng
Cân nhắc là những thứ vô cùng hữu ích xuất hiện trong nhiều lĩnh vực ứng dụng khác nhau. Ma trận ban đầu dựa trên hệ phương trình tuyến tính. Với cấu trúc của bất đẳng thức sau, cần tính đến ma trận bổ sung sau:
2x + 3y - z=6
–x - y - z=9
x + y + 6z=0.
Viết ra các hệ số và giá trị câu trả lời, bao gồm tất cả các dấu trừ. Nếu phần tử có số âm, thì nó sẽ bằng "1". Nghĩa là, với một hệ phương trình (tuyến tính), có thể kết hợp một ma trận (lưới các số bên trong dấu ngoặc) với nó. Nó là một trong những chỉ chứa các hệ số của hệ thống tuyến tính. Đây được gọi là "ma trận mở rộng". Lưới chứa các hệ số từ phía bên trái của mỗi phương trình đã được "đệm" bằng các câu trả lời từ phía bên phải của mỗi phương trình.
Hồ sơ, đó làcác giá trị B của ma trận tương ứng với các giá trị x-, y- và z trong hệ thống ban đầu. Nếu nó được sắp xếp hợp lý, thì trước hết hãy kiểm tra nó. Đôi khi bạn cần sắp xếp lại các thuật ngữ hoặc chèn các số không làm trình giữ chỗ trong ma trận đang được nghiên cứu hoặc tìm hiểu.
Cho hệ phương trình sau, ta có thể viết ngay ma trận tăng cường liên quan:
x + y=0
y + z=3
z - x=2.
Đầu tiên, hãy đảm bảo sắp xếp lại hệ thống như:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Khi đó có thể viết ma trận liên kết là: [11000113-1012]. Khi tạo một bản mở rộng, bạn nên sử dụng số 0 cho bất kỳ bản ghi nào trong đó vị trí tương ứng trong hệ phương trình tuyến tính trống.
Đại số Ma trận: Thuộc tính của Phép toán
Nếu cần thiết chỉ tạo thành phần tử từ các giá trị hệ số, thì giá trị được xem xét sẽ có dạng như sau: [110011-101]. Đây được gọi là "ma trận hệ số".
Có tính đến đại số ma trận mở rộng sau đây, cần phải cải tiến nó và bổ sung hệ thống tuyến tính liên kết. Tuy nhiên, điều quan trọng cần nhớ là chúng yêu cầu các biến phải được sắp xếp tốt và gọn gàng. Và thường khi có ba biến, sử dụng x, y và z theo thứ tự đó. Do đó, hệ thống tuyến tính liên quan phải là:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Kích thước ma trận
Các mục được đề cập thường được đề cập đến bởi hiệu suất của chúng. Kích thước của ma trận trong đại số được cho làcác phép đo, vì phòng có thể được gọi là khác nhau. Các giá trị được đo lường là các hàng và cột, không phải chiều rộng và chiều dài. Ví dụ, ma trận A:
[1234]
[2345]
[3456].
Vì A có ba hàng và bốn cột nên kích thước của A là 3 × 4.
→
↓
Dòng đi ngang. Các cột đi lên và xuống. "Hàng" và "cột" là thông số kỹ thuật và không thể hoán đổi cho nhau. Kích thước ma trận luôn được chỉ định với số hàng và sau đó là số cột. Theo quy ước này, B sau:
[123]
[234] là 2 × 3. Nếu ma trận có cùng số hàng với số cột, thì nó được gọi là "hình vuông". Ví dụ: các giá trị hệ số từ trên xuống:
[110]
[011]
[- 101] là ma trận vuông 3 × 3.
Ký hiệu và định dạng ma trận
Lưu ý định dạng: Ví dụ, khi bạn cần viết một ma trận, điều quan trọng là phải sử dụng dấu ngoặc . Các thanh giá trị tuyệt đối || không được sử dụng vì chúng có hướng khác trong ngữ cảnh này. Dấu ngoặc đơn hoặc dấu ngoặc nhọn {} không bao giờ được sử dụng. Hoặc một số ký hiệu phân nhóm khác, hoặc không có biểu tượng nào, vì những bản trình bày này không có bất kỳ ý nghĩa nào. Trong đại số, ma trận luôn nằm trong dấu ngoặc vuông. Chỉ ký hiệu đúng mới được sử dụng, nếu không câu trả lời có thể bị cắt xén.
Như đã đề cập trước đó, các giá trị chứa trong ma trận được gọi là bản ghi. Vì bất kỳ lý do gì, các thành phần được đề cập thường được viếtcác chữ cái viết hoa, chẳng hạn như A hoặc B, và các mục nhập được chỉ định bằng cách sử dụng các chữ cái viết thường tương ứng, nhưng với các ký hiệu con. Trong ma trận A, các giá trị thường được gọi là "ai, j", trong đó i là hàng của A và j là cột của A. Ví dụ, a3, 2=8. Mục nhập của a1, 3 là 3.
Đối với ma trận nhỏ hơn, những ma trận có ít hơn mười hàng và cột, dấu phẩy chỉ số con đôi khi bị bỏ qua. Ví dụ: "a1, 3=3" có thể được viết thành "a13=3". Rõ ràng là điều này sẽ không hoạt động đối với các ma trận lớn vì a213 sẽ bị che khuất.
Các loại ma trận
Đôi khi được phân loại theo cấu hình bản ghi của chúng. Ví dụ, một ma trận có tất cả các mục bằng 0 bên dưới "đường chéo" trên cùng bên trái-dưới cùng bên phải được gọi là tam giác trên. Trong số những thứ khác, có thể có nhiều loại và loại khác, nhưng chúng không hữu ích lắm. Nói chung, hầu hết được coi là hình tam giác trên. Các giá trị có số mũ khác 0 chỉ theo chiều ngang được gọi là giá trị đường chéo. Các loại tương tự có các mục khác 0, trong đó tất cả đều là 1, các câu trả lời như vậy được gọi là giống hệt nhau (vì lý do sẽ trở nên rõ ràng khi nó được học và hiểu cách nhân các giá trị được đề cập). Có nhiều chỉ số nghiên cứu tương tự. Bản sắc 3 × 3 được ký hiệu là I3. Tương tự, nhận dạng 4 × 4 là I4.
Đại số Ma trận và Không gian Tuyến tính
Lưu ý rằng ma trận tam giác là hình vuông. Nhưng các đường chéo là hình tam giác. Theo quan điểm này, họvuông. Và danh tính được coi là đường chéo và do đó, hình tam giác và hình vuông. Khi được yêu cầu mô tả một ma trận, người ta thường chỉ định đơn giản phân loại cụ thể nhất của riêng mình, vì điều này bao hàm tất cả các ma trận khác. Phân loại các tùy chọn nghiên cứu sau:là 3 × 4. Trong trường hợp này, chúng không phải là hình vuông. Do đó, các giá trị không thể là bất cứ điều gì khác. Phân loại sau:có thể là 3 × 3. Nhưng nó được coi là một hình vuông, và không có gì đặc biệt về nó. Phân loại dữ liệu sau:dưới dạng hình tam giác 3 × 3 trên, nhưng nó không phải là đường chéo. Đúng, trong các giá trị đang xem xét có thể có thêm các số 0 trên hoặc trên không gian được định vị và chỉ định. Phân loại đang được nghiên cứu sâu hơn: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], trong đó nó được biểu diễn dưới dạng đường chéo và hơn nữa, tất cả các mục nhập đều là 1. Sau đó, đây là danh tính 3 × 3, I3.
Vì ma trận tương tự là hình vuông theo định nghĩa, bạn chỉ cần sử dụng một chỉ mục duy nhất để tìm kích thước của chúng. Để hai ma trận bằng nhau, chúng phải có cùng tham số và có các mục giống nhau ở những vị trí giống nhau. Ví dụ, giả sử có hai phần tử đang xét: A=[1 3 0] [-2 0 0] và B=[1 3] [-2 0]. Các giá trị này không được giống nhau vì chúng có kích thước khác nhau.
Ngay cả khi A và B là: A=[3 6] [2 5] [1 4] và B=[1 2 3] [4 5 6] - chúng vẫn không giống nhau điều tương tự. A và B đều cósáu mục nhập và cũng có cùng số, nhưng điều này là không đủ cho ma trận. A là 3 × 2. Và B là ma trận 2 × 3. A đối với 3 × 2 không phải là 2 × 3. Không quan trọng nếu A và B có cùng lượng dữ liệu hoặc thậm chí cùng số với các bản ghi. Nếu A và B không có cùng kích thước và hình dạng, nhưng có các giá trị giống nhau ở những vị trí giống nhau, thì chúng không bằng nhau.
Hoạt động tương tự trong khu vực được xem xét
Tính chất bình đẳng ma trận này có thể được chuyển thành các nhiệm vụ để nghiên cứu độc lập. Ví dụ, hai ma trận được đưa ra, và nó được chỉ ra rằng chúng bằng nhau. Trong trường hợp này, bạn sẽ cần sử dụng đẳng thức này để khám phá và nhận câu trả lời cho các giá trị của các biến.
Các ví dụ và nghiệm của ma trận trong đại số có thể rất đa dạng, đặc biệt là khi nói đến bằng nhau. Cho rằng các ma trận sau đang xét, cần tìm các giá trị x và y. Để A và B bằng nhau thì chúng phải có cùng kích thước và hình dạng. Trong thực tế, chúng là như vậy, bởi vì mỗi trong số chúng là 2 × 2 ma trận. Và chúng phải có cùng giá trị ở những nơi giống nhau. Khi đó a1, 1 phải bằng b1, 1, a1, 2 phải bằng b1, 2, v.v. Chúng). Nhưng a1, 1=1 rõ ràng là không bằng b1, 1=x. Để A trùng với B, mục nhập phải có a1, 1=b1, 1, do đó nó có khả năng là 1=x. Tương tự, các chỉ số a2, 2=b2, 2 nên 4=y. Khi đó nghiệm là: x=1, y=4. Cho rằngma trận bằng nhau, bạn cần tìm giá trị của x, y và z. Để có A=B, các hệ số phải có tất cả các mục bằng nhau. Tức là, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1, v.v. Đặc biệt, phải:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Như bạn có thể thấy từ các ma trận đã chọn: với 1, 1-, 2, 2- và 3, 1-phần tử. Giải ba phương trình này, chúng ta nhận được câu trả lời: x=4, y=-6 và z=9. Các phép toán đại số ma trận và ma trận khác với những gì mọi người đã quen, nhưng chúng không thể tái lập.
Thông tin bổ sung trong lĩnh vực này
Đại số ma trận tuyến tính là nghiên cứu về các tập phương trình tương tự và các tính chất biến đổi của chúng. Lĩnh vực kiến thức này cho phép bạn phân tích phép quay trong không gian, tính gần đúng bình phương nhỏ nhất, giải các phương trình vi phân liên quan, xác định một đường tròn đi qua ba điểm cho trước và giải quyết nhiều vấn đề khác trong toán học, vật lý và công nghệ. Đại số tuyến tính của ma trận không thực sự là ý nghĩa kỹ thuật của từ được sử dụng, nghĩa là không gian vectơ v trên trường f, v.v.
Ma trận và định thức là những công cụ đại số tuyến tính cực kỳ hữu ích. Một trong những nhiệm vụ trọng tâm là giải phương trình ma trận Ax=b, với x. Mặc dù điều này về mặt lý thuyết có thể được giải quyết bằng cách sử dụng nghịch đảo x=A-1b. Các phương pháp khác, chẳng hạn như loại bỏ Gaussian, đáng tin cậy hơn về mặt số học.
Ngoài việc được sử dụng để mô tả việc nghiên cứu các bộ phương trình tuyến tính,thuật ngữ trên cũng được sử dụng để mô tả một loại đại số nhất định. Đặc biệt, L trên một trường F có cấu trúc của một vành với tất cả các tiên đề thông thường cho phép cộng và phép nhân nội tại, cùng với các luật phân phối. Do đó, nó mang lại cho nó nhiều cấu trúc hơn là một chiếc nhẫn. Đại số ma trận tuyến tính cũng thừa nhận phép toán bên ngoài của phép nhân với vô hướng là các phần tử của trường cơ sở F. Ví dụ, tập hợp tất cả các phép biến đổi được coi là từ không gian vectơ V sang chính nó trên trường F được hình thành trên F. Một ví dụ khác về tuyến tính đại số là tập hợp tất cả các ma trận vuông thực trên một trường R các số thực.
