Toán học bắt nguồn từ thời Cổ đại. Nhờ bà, kiến trúc, xây dựng và khoa học quân sự đã có một bước phát triển mới, những thành tựu thu được với sự trợ giúp của toán học đã dẫn đến phong trào tiến bộ. Cho đến ngày nay, toán học vẫn là khoa học chính được tìm thấy trong tất cả các ngành khác.
Để được giáo dục, trẻ từ lớp 1 bắt đầu hòa nhập dần vào môi trường này. Điều rất quan trọng là phải hiểu toán học, vì nó, ở mức độ này hay mức độ khác, xảy ra với mỗi người trong suốt cuộc đời của họ. Bài viết này sẽ phân tích một trong những yếu tố quan trọng - việc tìm kiếm và áp dụng các đạo hàm. Không phải ai cũng có thể hình dung khái niệm này được sử dụng rộng rãi như thế nào. Xem xét hơn 10 ứng dụng của các dẫn xuất trong các lĩnh vực hoặc khoa học nhất định.
Ứng dụng của đạo hàm vào nghiên cứu một hàm số
Đạo hàm là một giới hạntỷ lệ giữa số gia của một hàm với số gia của đối số của nó khi số mũ của đối số có xu hướng bằng không. Đạo hàm là một thứ không thể thiếu trong việc nghiên cứu một hàm số. Ví dụ, nó có thể được sử dụng để xác định sự tăng và giảm của sau, cực trị, độ lồi và độ tụ. Phép tính vi phân được đưa vào chương trình giảng dạy bắt buộc cho sinh viên năm 1 và năm 2 của các trường đại học toán học.
Số không trong phạm vi và chức năng
Giai đoạn đầu tiên của bất kỳ nghiên cứu nào về biểu đồ đều bắt đầu bằng việc tìm ra miền định nghĩa, trong những trường hợp hiếm hoi hơn - giá trị. Miền xác định được đặt dọc theo trục abscissa, hay nói cách khác, đây là các giá trị số trên trục OX. Thường thì phạm vi đã được thiết lập, nhưng nếu nó chưa được thiết lập, thì giá trị của đối số x sẽ được đánh giá. Giả sử, nếu đối với một số giá trị của đối số, hàm không có ý nghĩa, thì đối số này bị loại trừ khỏi phạm vi.
Zeros của hàm được tìm thấy theo một cách đơn giản: hàm f (x) phải tương đương với 0 và phương trình kết quả phải được giải theo một biến x. Các gốc thu được của phương trình là các số không của hàm, nghĩa là, trong các x này, hàm bằng 0.
Tăng và giảm
Việc sử dụng đạo hàm để nghiên cứu các hàm đơn điệu có thể được xem xét từ hai vị trí. Một hàm đơn điệu là một loại chỉ có giá trị dương của đạo hàm, hoặc chỉ có giá trị âm. Nói một cách dễ hiểu, hàm chỉ tăng hoặc chỉ giảm trong toàn bộ khoảng thời gian đang nghiên cứu:
- Tăng thông số. Hàm sốf (x) sẽ tăng nếu đạo hàm của f` (x) lớn hơn 0.
- Tham số giảm dần. Hàm f (x) sẽ giảm nếu đạo hàm của f` (x) nhỏ hơn 0.
Tiếp tuyến và Độ dốc
Ứng dụng của đạo hàm trong nghiên cứu một hàm số cũng được xác định bởi tiếp tuyến (đường thẳng hướng một góc) với đồ thị của hàm số tại một điểm cho trước. Tiếp tuyến tại một điểm (x0) - một đường thẳng đi qua một điểm và thuộc hàm có tọa độ là (x0, f (x 0 )) và có hệ số góc f` (x0 ).
y=f (x0) + f` (x0) (x - x0) - phương trình của tiếp tuyến với điểm đã cho của đồ thị của hàm số.
Ý nghĩa hình học của đạo hàm: đạo hàm của hàm số f (x) bằng hệ số góc của tiếp tuyến tạo thành với đồ thị của hàm số này tại một điểm x cho trước. Hệ số góc lần lượt bằng tang của góc nghiêng của tiếp tuyến với trục OX (abscissa) theo chiều dương. Hệ quả này là cơ bản cho việc áp dụng đạo hàm vào đồ thị của một hàm số.
Điểm cực chuẩn
Áp dụng đạo hàm vào một nghiên cứu liên quan đến việc tìm điểm cao và điểm thấp.
Để tìm và xác định điểm tối thiểu và tối đa, bạn phải:
- Tìm đạo hàm của hàm f (x).
- Đặt phương trình kết quả thành 0.
- Tìm nghiệm nguyên của phương trình.
- Tìm điểm cao và điểm thấp.
Để tìm cực trịtính năng:
- Tìm điểm tối thiểu và tối đa bằng cách sử dụng phương pháp trên.
- Thay các điểm này vào phương trình ban đầu và tính ymaxvà ymin
Điểm cực đại của hàm số là giá trị lớn nhất của hàm số f (x) trên khoảng, hay nói cách khác là xmax.
Điểm cực tiểu của hàm số là giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) trên khoảng, hay nói cách khác là xname
Điểm cực trị giống với điểm cực đại và cực tiểu, và điểm cực trị của hàm số (ycực đại vàycực tiểu) - giá trị hàm tương ứng với điểm cực trị.
Độ lồi và độ lõm
Bạn có thể xác định độ lồi và độ lõm bằng cách sử dụng đạo hàm để vẽ biểu đồ:
- Hàm f (x) được khảo sát trên khoảng (a, b) là hàm lõm nếu hàm nằm bên dưới tất cả các tiếp tuyến của nó trong khoảng này.
- Hàm f (x) nghiên cứu trên khoảng (a, b) là lồi nếu hàm nằm trên tất cả các tiếp tuyến của nó trong khoảng này.
Điểm phân tách độ lồi và độ lõm được gọi là điểm uốn của hàm.
Để tìm điểm uốn:
- Tìm điểm tới hạn của loại thứ hai (đạo hàm thứ hai).
- Điểm uốn là những điểm quan trọng ngăn cách hai dấu hiệu trái ngược nhau.
- Tính toán các giá trị của hàm tại các điểm uốn của hàm.
Dẫn xuất một phần
Ứng dụngcó các dẫn xuất loại này trong các bài toán sử dụng nhiều hơn một biến không xác định. Thông thường, các đạo hàm như vậy thường gặp khi vẽ đồ thị hàm số, nói chính xác hơn là các bề mặt trong không gian, trong đó thay vì hai trục thì có ba đại lượng, do đó, ba đại lượng (hai biến và một hằng số).
Quy tắc cơ bản khi tính đạo hàm riêng là chọn một biến và coi phần còn lại là hằng số. Do đó, khi tính đạo hàm riêng, hằng số trở thành giá trị số (trong nhiều bảng đạo hàm, chúng được ký hiệu là C=const). Ý nghĩa của đạo hàm như vậy là tốc độ thay đổi của hàm z=f (x, y) dọc theo trục OX và OY, nghĩa là nó đặc trưng cho độ dốc của các chỗ lõm và chỗ phồng của bề mặt được xây dựng.
Đạo hàm trong vật lý
Việc sử dụng đạo hàm trong vật lý là phổ biến và quan trọng. Ý nghĩa vật lý: đạo hàm của đường đi đối với thời gian là tốc độ và gia tốc là đạo hàm của tốc độ đối với thời gian. Từ ý nghĩa vật lý, nhiều nhánh có thể được rút ra cho các nhánh khác nhau của vật lý, trong khi vẫn bảo toàn hoàn toàn ý nghĩa của đạo hàm.
Với sự trợ giúp của đạo hàm, các giá trị sau được tìm thấy:
- Tốc độ trong động học, trong đó đạo hàm của quãng đường di chuyển được tính. Nếu đạo hàm thứ hai của đường đi hoặc đạo hàm thứ nhất của vận tốc, thì gia tốc của cơ thể được tìm thấy. Ngoài ra, có thể tìm vận tốc tức thời của một chất điểm, nhưng để làm được điều này thì cần phải biết gia số ∆t và ∆r.
- Trong điện động lực học:tính cường độ tức thời của dòng điện xoay chiều, cũng như EMF của cảm ứng điện từ. Bằng cách tính đạo hàm, bạn có thể tìm được lũy thừa lớn nhất. Đạo hàm của lượng điện tích là cường độ dòng điện trong vật dẫn.
Dẫn xuất trong hóa học và sinh học
Hóa học: Dẫn xuất được sử dụng để xác định tốc độ của một phản ứng hóa học. Ý nghĩa hóa học của đạo hàm: hàm p=p (t), trong trường hợp này p là lượng một chất tham gia phản ứng hóa học trong thời gian t. ∆t - độ tăng thời gian, ∆p - độ tăng lượng chất. Giới hạn của tỉ số giữa ∆p và ∆t, tại đó ∆t có xu hướng bằng không, được gọi là tốc độ của phản ứng hoá học. Giá trị trung bình của một phản ứng hóa học là tỉ số ∆p / ∆t. Khi xác định tốc độ phải biết chính xác tất cả các thông số, điều kiện cần thiết, biết trạng thái tổng hợp của môi chất và môi chất. Đây là một khía cạnh khá lớn trong hóa học, được sử dụng rộng rãi trong các ngành công nghiệp khác nhau và các hoạt động của con người.
Sinh học: khái niệm đạo hàm dùng để tính tốc độ sinh sản trung bình. Ý nghĩa sinh học: ta có một hàm số y=x (t). ∆t - độ tăng thời gian. Sau đó, với sự trợ giúp của một số phép biến đổi, chúng ta thu được hàm y`=P (t)=x` (t) - hoạt động quan trọng của quần thể tại thời điểm t (tốc độ sinh sản trung bình). Việc sử dụng công cụ phái sinh này cho phép bạn giữ số liệu thống kê, theo dõi tốc độ sinh sản, v.v.
Đạo hàm trong địa lý và kinh tế
Đạo hàm cho phép các nhà địa lý quyết địnhcác nhiệm vụ như tìm dân số, tính toán các giá trị trong địa chấn, tính toán độ phóng xạ của các chỉ số địa vật lý hạt nhân, tính toán nội suy.
Trong kinh tế học, một phần quan trọng của các phép tính là phép tính vi phân và phép tính đạo hàm. Trước hết, điều này cho phép chúng ta xác định giới hạn của các giá trị kinh tế cần thiết. Ví dụ: năng suất lao động, chi phí, lợi nhuận cao nhất và thấp nhất. Về cơ bản, các giá trị này được tính toán từ đồ thị hàm số, nơi chúng tìm thấy điểm cực trị, xác định tính đơn điệu của hàm số trong khu vực mong muốn.
Kết
Vai trò của phép tính vi phân này, như đã nói trong bài báo, liên quan đến các cấu trúc khoa học khác nhau. Việc sử dụng các hàm đạo hàm là một yếu tố quan trọng trong phần thực hành của khoa học và sản xuất. Chẳng phải vì điều gì mà chúng tôi được dạy ở trường trung học và đại học để xây dựng các đồ thị phức tạp, khám phá và làm việc trên các hàm số. Như bạn có thể thấy, nếu không có các phép tính đạo hàm và vi phân, sẽ không thể tính được các chỉ số và đại lượng quan trọng. Nhân loại đã học cách mô hình hóa các quá trình khác nhau và khám phá chúng, để giải quyết các vấn đề toán học phức tạp. Thật vậy, toán học là nữ hoàng của tất cả các ngành khoa học, bởi vì khoa học này làm nền tảng cho tất cả các ngành tự nhiên và kỹ thuật khác.
