Pythagoras lập luận rằng con số làm nền tảng cho thế giới cùng với các yếu tố cơ bản. Plato tin rằng con số kết nối hiện tượng và noumenon, giúp nhận thức, đo lường và đưa ra kết luận. Số học bắt nguồn từ từ "arithmos" - một con số, sự khởi đầu của sự khởi đầu trong toán học. Nó có thể mô tả bất kỳ đối tượng nào - từ một quả táo sơ đẳng đến các không gian trừu tượng.
Nhu cầu làm nhân tố phát triển
Trong giai đoạn đầu hình thành xã hội, nhu cầu của con người chỉ giới hạn ở nhu cầu đếm - một bao thóc, hai bao thóc, v.v. Số tự nhiên là đủ cho điều này, tập hợp một dãy số nguyên dương vô hạn N.
Sau đó, với sự phát triển của toán học như một khoa học, cần có một trường số nguyên Z riêng biệt - nó bao gồm các giá trị âm và không. Sự xuất hiện của nó ở cấp hộ gia đình là do thực tế là trong kế toán chính, cần phải sửa chữa bằng cách nào đócác khoản nợ và thua lỗ. Trên bình diện khoa học, các số âm giúp giải các phương trình tuyến tính đơn giản nhất. Trong số những thứ khác, hình ảnh của một hệ tọa độ tầm thường hiện đã trở nên khả thi, vì một điểm tham chiếu đã xuất hiện.
Bước tiếp theo là sự cần thiết phải đưa ra các số phân số, vì khoa học vẫn chưa đứng yên, ngày càng có nhiều khám phá yêu cầu cơ sở lý thuyết cho một động lực tăng trưởng mới. Đây là cách trường số hữu tỉ xuất hiện Q.
Cuối cùng, tính hợp lý không còn đáp ứng các yêu cầu nữa, bởi vì tất cả các kết luận mới đều yêu cầu sự biện minh. Đã xuất hiện trường số thực R, công trình của Euclid về tính bất hợp lý của một số đại lượng do tính không hợp lý của chúng. Có nghĩa là, các nhà toán học Hy Lạp cổ đại đã định vị con số không chỉ là một hằng số mà còn là một đại lượng trừu tượng, được đặc trưng bởi tỷ lệ của các đại lượng không thể đo lường được. Do thực tế là các số thực đã xuất hiện, các đại lượng như "pi" và "e" "đã nhìn thấy ánh sáng", nếu không có toán học hiện đại thì không thể thực hiện được.
Sự đổi mới cuối cùng là số phức C. Nó trả lời một số câu hỏi và bác bỏ các định đề đã đưa ra trước đó. Do sự phát triển nhanh chóng của đại số, kết quả là có thể đoán trước được - có số thực thì việc giải nhiều bài toán là không thể. Ví dụ: nhờ các số phức, lý thuyết về dây và sự hỗn loạn nổi bật, đồng thời các phương trình thủy động lực học được mở rộng.
Đặt lý thuyết. Cantor
Khái niệm vô hạn mọi lúcđã gây ra tranh cãi, vì nó không thể được chứng minh hoặc bác bỏ. Trong bối cảnh toán học, vốn vận hành với các định đề được xác minh nghiêm ngặt, điều này thể hiện rõ ràng nhất, đặc biệt là vì khía cạnh thần học vẫn có trọng lượng trong khoa học.
Tuy nhiên, nhờ công của nhà toán học Georg Kantor, mọi thứ đã ổn thỏa theo thời gian. Ông đã chứng minh rằng có vô số tập hợp vô hạn, và trường R lớn hơn trường N, ngay cả khi cả hai đều không có kết thúc. Vào giữa thế kỷ 19, những ý tưởng của ông bị mọi người gọi là vô nghĩa và là tội ác chống lại những quy tắc cổ điển, không thể lay chuyển, nhưng thời gian đã đặt mọi thứ vào đúng vị trí của nó.
Thuộc tính cơ bản của trường R
Các số thực không chỉ có các thuộc tính giống như các tập hợp con được bao gồm trong chúng, mà còn được bổ sung bởi các số khác do quy mô của các phần tử của chúng:
- Số không tồn tại và thuộc trường R. c + 0=c với c bất kỳ từ R.
- Số không tồn tại và thuộc trường R. c x 0=0 với c bất kỳ từ R.
- Quan hệ c: d với d ≠ 0 tồn tại và hợp lệ với bất kỳ c, d nào từ R.
- Trường R có thứ tự, nghĩa là, nếu c ≦ d, d ≦ c, thì c=d với bất kỳ c, d nào từ R.
- Phép cộng trong trường R có tính chất giao hoán, tức là c + d=d + c với bất kỳ c, d nào từ R.
- Phép nhân trong trường R có tính chất giao hoán, tức là c x d=d x c với c, d bất kỳ từ R.
- Phép cộng trong trường R là phép kết hợp, tức là (c + d) + f=c + (d + f) với bất kỳ c, d, f nào từ R.
- Phép nhân trong trường R là phép kết hợp, tức là (c x d) x f=c x (d x f) với bất kỳ c, d, f nào từ R.
- Với mọi số trong trường R, có một số ngược lại, sao cho c + (-c)=0, trong đó c, -c là từ R.
- Đối với mỗi số từ trường R có nghịch đảo của nó, sao cho c x c-1=1, trong đó c, c-1từ R.
- Đơn vị tồn tại và thuộc R, do đó c x 1=c, với c bất kỳ từ R.
- Luật phân phối là hợp lệ, vì vậy c x (d + f)=c x d + c x f, với mọi c, d, f từ R.
- Trong trường R, số không không bằng một.
- Trường R có tính bắc cầu: nếu c ≦ d, d ≦ f, thì c ≦ f với bất kỳ c, d, f nào từ R.
- Trong trường R, thứ tự và phép cộng có liên quan với nhau: nếu c ≦ d, thì c + f ≦ d + f với c, d, f bất kỳ từ R.
- Trong trường R, thứ tự và phép nhân có liên quan với nhau: nếu 0 ≦ c, 0 ≦ d, thì 0 ≦ c x d với bất kỳ c, d nào từ R.
- Cả hai số thực âm và dương đều liên tục, tức là, với c, d bất kỳ từ R, tồn tại f từ R sao cho c ≦ f ≦ d.
Mô-đun trong trường R
Số thực bao gồm môđun.
Được ký hiệu là | f | với bất kỳ f nào từ R. | f |=f nếu 0 ≦ f và | f |=-f nếu 0 > f. Nếu chúng ta coi môđun như một đại lượng hình học thì đó là quãng đường đi được - không thành vấn đề nếu bạn “chuyển” từ 0 đến trừ hay chuyển tiếp sang cộng.
Số phức và số thực. Điểm giống nhau và điểm khác biệt là gì?
Theo và số lớn, số phức và số thực là một và giống nhau, ngoại trừ điều đóđơn vị ảo i, có bình phương là -1. Các phần tử của trường R và C có thể được biểu diễn dưới dạng công thức sau:
c=d + f x i, trong đó d, f thuộc trường R và i là đơn vị ảo
Để lấy c từ R trong trường hợp này, f đơn giản được đặt bằng 0, nghĩa là chỉ còn lại phần thực của số. Do trường số phức có cùng tập thuộc tính với trường số thực nên f x i=0 nếu f=0.
Về sự khác biệt trong thực tế, ví dụ, trong trường R, phương trình bậc hai không được giải nếu số phân biệt là âm, trong khi trường C không áp đặt hạn chế như vậy do giới thiệu đơn vị ảo i.
Kết quả
Các "viên gạch" của các tiên đề và định đề mà toán học dựa trên đó không thay đổi. Do sự gia tăng thông tin và sự ra đời của các lý thuyết mới, những “viên gạch” sau đây được đặt lên một số chúng, mà trong tương lai chúng có thể trở thành cơ sở cho bước tiếp theo. Ví dụ, các số tự nhiên, mặc dù thực tế rằng chúng là một tập con của trường thực R, nhưng không làm mất đi tính liên quan của chúng. Tất cả các phép số học cơ bản đều dựa trên chúng, từ đó kiến thức của con người về thế giới bắt đầu.
Theo quan điểm thực tế, các số thực giống như một đường thẳng. Trên đó, bạn có thể chọn hướng, chỉ định điểm xuất phát và bước đi. Một đường thẳng bao gồm vô số điểm, mỗi điểm tương ứng với một số thực duy nhất, bất kể nó có hữu tỉ hay không. Rõ ràng từ mô tả rằng chúng ta đang nói về một khái niệm mà cả toán học nói chung và phân tích toán học nói chung đều được xây dựng.đặc biệt.
