Trong trường học về hình học đặc, một trong những hình đơn giản nhất có kích thước khác 0 dọc theo ba trục không gian là hình lăng trụ tứ giác. Trong bài viết, hãy xem xét nó là loại hình gì, nó bao gồm những phần tử nào và cũng như cách bạn có thể tính diện tích bề mặt và thể tích của nó.
Khái niệm về lăng kính
Trong hình học, lăng trụ là một hình trong không gian, được tạo thành bởi hai đáy giống nhau và các mặt bên nối các cạnh của các đáy này. Lưu ý rằng cả hai cơ sở được biến đổi thành nhau bằng cách sử dụng phép tịnh tiến song song bởi một số vectơ. Phép gán này của lăng trụ dẫn đến thực tế là tất cả các mặt của nó luôn là hình bình hành.
Số lượng cạnh của đế có thể tùy ý, bắt đầu từ ba. Khi con số này có xu hướng đến vô cùng, lăng kính chuyển thành hình trụ một cách trơn tru, vì đáy của nó trở thành một hình tròn và các hình bình hành bên, nối với nhau, tạo thành một bề mặt hình trụ.
Giống như bất kỳ hình đa diện nào, một hình lăng trụ có đặc điểm làcác mặt bên (các mặt phẳng giới hạn hình vẽ), các cạnh (các đoạn mà hai cạnh bất kỳ cắt nhau) và các đỉnh (các điểm gặp nhau của ba cạnh đối với lăng trụ, hai trong số chúng là mặt bên và mặt thứ ba là mặt đáy). Các đại lượng của ba phần tử được đặt tên của hình được kết nối với nhau bằng biểu thức sau:
P=C + B - 2
Ở đây P, C và B lần lượt là số cạnh, cạnh và đỉnh. Biểu thức này là ký hiệu toán học của định lý Euler.
Hình trên cho thấy hai lăng kính. Tại đáy của một trong số chúng (A) là một hình lục giác đều và các cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Hình B cho thấy một hình lăng trụ khác. Các mặt của nó không còn vuông góc với mặt đáy nữa và mặt đáy là một hình ngũ giác đều.
Hình lăng trụ tứ giác là gì?
Như đã rõ ở phần mô tả ở trên, loại hình lăng trụ chủ yếu được xác định bởi loại đa giác tạo thành đáy (cả hai đáy đều giống nhau, vì vậy chúng ta có thể nói về một trong số chúng). Nếu đa giác này là một hình bình hành thì ta được một hình lăng trụ tứ giác. Như vậy, tất cả các mặt của loại lăng trụ này đều là hình bình hành. Hình lăng trụ tứ giác có tên riêng - một hình bình hành.
Số cạnh của một hình bình hành là sáu và mỗi cạnh có một hình bình hành tương tự với nó. Vì các đáy của hộp là hai mặt nên bốn mặt còn lại là mặt bên.
Số đỉnh của hình bình hành là tám, dễ thấy nếu chúng ta nhớ rằng các đỉnh của hình lăng trụ chỉ được tạo thành tại các đỉnh của đa giác cơ sở (4x2=8). Áp dụng định lý Euler, chúng ta nhận được số cạnh:
P=C + B - 2=6 + 8 - 2=12
Trong số 12 xương sườn, chỉ có 4 xương sườn được hình thành độc lập bởi các cạnh. 8 phần còn lại nằm trong mặt phẳng của các đáy của hình.
Hơn nữa trong bài này chúng ta sẽ chỉ nói về lăng trụ tứ giác.
Các loại mật khẩu song song
Kiểu phân loại đầu tiên là các đặc điểm của hình bình hành bên dưới. Nó có thể trông như thế này:
- đều, có các góc không bằng 90o;
- hình chữ nhật;
- hình vuông là hình tứ giác đều.
Kiểu phân loại thứ hai là góc mà mặt bên đi qua mặt đáy. Có thể có hai trường hợp khác nhau ở đây:
- góc này không thẳng, thì lăng trụ được gọi là xiên hoặc xiên;
- góc là 90o, thì lăng trụ như vậy là hình chữ nhật hay chỉ là hình thẳng.
Kiểu phân loại thứ ba liên quan đến chiều cao của lăng kính. Nếu hình lăng trụ là hình chữ nhật và đáy là hình vuông hoặc hình chữ nhật thì nó được gọi là hình lập phương. Nếu có một hình vuông ở đáy, hình lăng trụ là hình chữ nhật và chiều cao của nó bằng độ dài cạnh của hình vuông, thì chúng ta sẽ có được hình lập phương đã biết.
Bề mặt và diện tích lăng kính
Tập hợp tất cả các điểm nằm trên hai đáy của lăng trụ(hình bình hành) và trên các mặt của nó (bốn hình bình hành) tạo thành bề mặt của hình. Diện tích của bề mặt này có thể được tính bằng cách tính diện tích của phần đế và giá trị này cho bề mặt bên. Khi đó tổng của chúng sẽ cho giá trị mong muốn. Về mặt toán học, điều này được viết như sau:
S=2So+ Sb
Ở đây Sovà Sblần lượt là diện tích của mặt đáy và mặt bên. Số 2 trước Soxuất hiện vì có hai cơ sở.
Lưu ý rằng công thức đã viết hợp lệ cho bất kỳ hình lăng trụ nào, và không chỉ cho diện tích của hình lăng trụ tứ giác.
Rất hữu ích khi nhớ lại rằng diện tích của hình bình hành Spđược tính bằng công thức:
Sp=ah
Trong đó các ký hiệu a và h biểu thị độ dài của một trong các cạnh của nó và chiều cao được vẽ về phía này tương ứng.
Diện tích của hình lăng trụ chữ nhật có đáy là hình vuông
Trong lăng trụ tứ giác đều, đáy là hình vuông. Để chắc chắn, chúng tôi ký hiệu cạnh của nó bằng chữ a. Để tính diện tích của một lăng trụ tứ giác đều, bạn nên biết chiều cao của nó. Theo định nghĩa cho đại lượng này, nó bằng độ dài của vuông góc thả từ cơ sở này sang cơ sở khác, tức là bằng khoảng cách giữa chúng. Hãy ký hiệu nó bằng chữ h. Vì tất cả các mặt bên đều vuông góc với mặt đáy của loại lăng trụ đang xét nên chiều cao của hình lăng trụ tứ giác đều sẽ bằng độ dài cạnh bên của nó.
BCông thức tổng quát cho diện tích bề mặt của hình lăng trụ là hai số hạng. Diện tích của / u200b / u200b cơ sở trong trường hợp này rất dễ tính, nó bằng:
So=a2
Để tính diện tích của mặt bên ta lập luận như sau: mặt này do 4 hình chữ nhật giống nhau tạo thành. Hơn nữa, các cạnh của mỗi người trong số họ bằng a và h. Điều này có nghĩa là diện tích của Sbsẽ bằng:
Sb=4ah
Lưu ý rằng tích 4a là chu vi của hình vuông. Nếu chúng ta tổng quát biểu thức này cho trường hợp của một cơ sở tùy ý, thì đối với một lăng trụ hình chữ nhật, bề mặt bên có thể được tính như sau:
Sb=Po h
Trong đó Polà chu vi của cơ sở.
Trở lại bài toán tính diện tích hình lăng trụ tứ giác đều, ta có thể viết công thức cuối cùng:
S=2So+ Sb=2a2+ 4ah=2a(a + 2h)
Diện tích hình bình hành xiên
Tính toán nó có phần khó hơn so với một hình chữ nhật. Trong trường hợp này, diện tích đáy của hình lăng trụ tứ giác được tính theo công thức tương tự như đối với hình bình hành. Những thay đổi liên quan đến cách xác định diện tích bề mặt bên.
Để làm điều này, hãy sử dụng cùng một công thức tính theo chu vi như đã cho trong đoạn trên. Chỉ bây giờ nó sẽ có số nhân hơi khác một chút. Công thức tổng quát của Sbtrong trường hợp lăng trụ xiên là:
Sb=Psr c
Ở đây c là độ dài cạnh bên của hình. Giá trị Psrlà chu vi hình chữ nhật. Môi trường này được xây dựng như sau: cần phải giao tất cả các mặt bên với một mặt phẳng sao cho vuông góc với tất cả chúng. Hình chữ nhật thu được sẽ là hình cắt mong muốn.
Hình trên cho thấy một ví dụ về hộp xiên. Phần gạch chéo của nó tạo thành các góc vuông với các mặt bên. Chu vi của mặt cắt là Psr. Nó được hình thành bởi bốn chiều cao của các hình bình hành bên. Đối với hình lăng trụ tứ giác này, diện tích mặt bên được tính theo công thức trên.
Chiều dài đường chéo của hình lập phương
Đường chéo của hình bình hành là đoạn nối hai đỉnh không có cạnh chung tạo thành chúng. Chỉ có bốn đường chéo trong bất kỳ hình lăng trụ tứ giác nào. Đối với một hình lập phương có đáy là hình chữ nhật, độ dài của tất cả các đường chéo đều bằng nhau.
Hình bên dưới là hình tương ứng. Đoạn màu đỏ là đường chéo của nó.
Tính độ dài của nó rất đơn giản, nếu bạn nhớ định lý Pitago. Mỗi học sinh có thể nhận được công thức mong muốn. Nó có dạng sau:
D=√ (A2+ B2+ C2)
Ở đây D là độ dài của đường chéo. Các ký tự còn lại là độ dài của các cạnh của hộp.
Nhiều người nhầm lẫn giữa đường chéo của hình bình hành với đường chéo của các cạnh của nó. Dưới đây là một hình ảnh có màucác phân đoạn đại diện cho các đường chéo của các cạnh của hình.
Độ dài của mỗi cạnh cũng được xác định bởi định lý Pitago và bằng căn bậc hai của tổng bình phương độ dài các cạnh tương ứng.
Khối lượng lăng kính
Ngoài diện tích của lăng trụ tứ giác đều hay các dạng lăng trụ khác, để giải một số bài toán hình học, bạn cũng nên biết thể tích của chúng. Giá trị này đối với hoàn toàn bất kỳ lăng kính nào được tính theo công thức sau:
V=So h
Nếu hình lăng trụ là hình chữ nhật thì chỉ cần tính diện tích của đáy và nhân nó với độ dài cạnh bên để được thể tích của hình là đủ.
Nếu lăng trụ là lăng trụ tứ giác đều thì thể tích của nó sẽ là:
V=a2 h.
Dễ dàng nhận thấy rằng công thức này được chuyển thành một biểu thức cho thể tích của một khối lập phương nếu độ dài của cạnh bên h bằng cạnh của cơ sở a.
Vấn đề với hình khối
Để củng cố tài liệu đã học, chúng ta giải bài toán sau: Có một hình bình hành là hình chữ nhật có các cạnh là 3 cm, 4 cm và 5 cm. Cần tính diện tích bề mặt, độ dài đường chéo và thể tích của nó.
Để chắc chắn, chúng ta sẽ giả sử rằng đáy của hình là một hình chữ nhật với các cạnh là 3 cm và 4 cm. Khi đó diện tích của nó là 12 cm2, và chu là 14 cm. Sử dụng công thức cho diện tích bề mặt của lăng trụ, ta được:
S=2So+ Sb=212 + 514=24 + 70=94cm2
Để xác định độ dài của đường chéo và thể tích của hình, bạn có thể sử dụng trực tiếp các biểu thức trên:
D=√ (32+ 42+ 52)=7. 071 cm;
V=345=60cm3.
Vấn đề với một đường xiên song song
Hình dưới đây cho thấy một lăng trụ xiên. Các cạnh của nó bằng nhau: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm. Bạn cần tìm diện tích bề mặt của hình này.
Đầu tiên, chúng ta hãy xác định diện tích của cơ sở. Hình cho thấy góc nhọn là 50o. Sau đó, khu vực của nó là:
So=ha=sin (50o)ba
Để xác định diện tích của bề mặt bên, bạn nên tìm chu vi của hình chữ nhật được tô bóng. Các cạnh của hình chữ nhật này là asin (45o) và bsin (60o). Khi đó chu vi của hình chữ nhật này là:
Psr=2(asin (45o) + bsin (60o))
Tổng diện tích bề mặt của hộp này là:
S=2So+ Sb=2(sin (50o)ba + acsin (45o) + bcsin (60o))
Chúng ta thay thế dữ liệu từ điều kiện của bài toán cho độ dài các cạnh của hình, chúng ta nhận được câu trả lời:
S=458, 5496 cm3
Từ lời giải của bài toán này có thể thấy rằng các hàm lượng giác được sử dụng để xác định diện tích của các hình xiên.
