Biến là gì? Biến trong toán học

2024 Tác giả: Angel Austin | [email protected]. Sửa đổi lần cuối: 2024-01-02 17:58

Tầm quan trọng của các biến trong toán học là rất lớn, bởi vì trong quá trình tồn tại của nó, các nhà khoa học đã có nhiều khám phá trong lĩnh vực này, và để trình bày ngắn gọn và rõ ràng định lý này hoặc định lý kia, chúng tôi sử dụng các biến để viết các công thức tương ứng. Ví dụ, định lý Pitago về tam giác vuông: a²=b²+ c^{2. Cách viết mỗi khi giải một bài toán: theo định lý Pitago, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương của các chân - chúng ta viết điều này bằng một công thức, và mọi thứ ngay lập tức trở nên rõ ràng.}

Vì vậy, bài viết này sẽ thảo luận về biến là gì, kiểu và thuộc tính của chúng. Các biểu thức toán học khác nhau cũng sẽ được xem xét: bất đẳng thức, công thức, hệ thống và thuật toán cho lời giải của chúng.

Khái niệm biến

Trước hết, một biến là gì? Đây là một giá trị số có thể nhận nhiều giá trị. Nó không thể là hằng số, vì trong các bài toán và phương trình khác nhau, để thuận tiện, chúng tôi lấy các giải pháp làbiến các số khác nhau, nghĩa là, ví dụ, z là ký hiệu chung cho mỗi đại lượng mà nó được lấy. Thông thường chúng được ký hiệu bằng các chữ cái trong bảng chữ cái Latinh hoặc Hy Lạp (x, y, a, b, v.v.).

Có nhiều loại biến khác nhau. Họ đặt cả một số đại lượng vật lý - đường dẫn (S), thời gian (t) và đơn giản là các giá trị chưa biết trong phương trình, hàm và các biểu thức khác.

Ví dụ, có một công thức: S=Vt. Ở đây, các biến biểu thị các đại lượng nhất định liên quan đến thế giới thực - đường đi, tốc độ và thời gian.

Và có phương trình dạng: 3x - 16=12x. Ở đây, x đã được coi là một số trừu tượng có ý nghĩa trong ký hiệu này.

Các loại số lượng

Lượng là vật thể hiện thuộc tính của một sự vật, chất, hiện tượng nào đó. Ví dụ: nhiệt độ không khí, trọng lượng của động vật, tỷ lệ phần trăm vitamin trong một viên thuốc - đây là tất cả các đại lượng có thể tính được giá trị số.

Mỗi đại lượng có các đơn vị đo riêng của nó, các đơn vị đo này cùng nhau tạo thành một hệ thống. Nó được gọi là hệ thống số (SI).

Biến và hằng là gì? Hãy xem xét chúng bằng các ví dụ cụ thể.

Chúng ta hãy chuyển động thẳng đều. Một điểm trong không gian chuyển động với tốc độ như nhau trong mọi thời điểm. Tức là thời gian và quãng đường thay đổi, nhưng tốc độ vẫn như cũ. Trong ví dụ này, thời gian và khoảng cách là các biến và tốc độ là không đổi.

Hoặc, ví dụ, "pi". Đây là một số vô tỉ tiếp tục mà không lặp lạimột dãy các chữ số và không thể được viết đầy đủ, vì vậy trong toán học, nó được biểu thị bằng một ký hiệu được chấp nhận chung chỉ nhận giá trị của một phân số vô hạn nhất định. Đó là, "pi" là một giá trị không đổi.

Lịch sử

Lịch sử của ký hiệu các biến số bắt đầu từ thế kỷ XVII với nhà khoa học René Descartes.

Anh ấy chỉ định các giá trị đã biết bằng các chữ cái đầu tiên của bảng chữ cái: a, b, v.v., và đối với những giá trị chưa biết, anh ấy đề xuất sử dụng các chữ cái cuối cùng: x, y, z. Đáng chú ý là Descartes coi các biến đó là số không âm, và khi đối mặt với các tham số âm, ông đặt một dấu trừ trước biến hoặc, nếu không biết đó là dấu gì, hãy đặt một dấu chấm lửng. Nhưng theo thời gian, tên của các biến bắt đầu biểu thị các số của bất kỳ dấu hiệu nào, và điều này bắt đầu với nhà toán học Johann Hudde.

Với biến, các phép tính trong toán học dễ giải hơn, bởi vì, chẳng hạn, làm cách nào để giải phương trình bậc hai bây giờ? Chúng tôi nhập một biến. Ví dụ:

x⁴+ 15x^{2+ 7=0}

Với x2chúng ta lấy một số k, và phương trình trở nên rõ ràng:

x2=k, với k ≧ 0

k2+ 15k + 7=0

Đó là điều mà sự ra đời của các biến số mang lại cho toán học.

Bất đẳng thức, ví dụ về giải pháp

Bất đẳng thức là một bản ghi trong đó hai biểu thức toán học hoặc hai số được nối với nhau bằng các dấu hiệu so sánh:, ≦, ≧. Chúng nghiêm ngặt và được biểu thị bằng các dấu hiệu hoặc không nghiêm ngặt bằng các dấu hiệu ≦, ≧.

Lần đầu tiên những biển báo này được giới thiệuThomas Harriot. Sau khi Thomas qua đời, cuốn sách của ông với những ký hiệu này đã được xuất bản, các nhà toán học thích chúng và theo thời gian chúng được sử dụng rộng rãi trong các phép tính toán học.

Có một số quy tắc cần tuân theo khi giải các bất phương trình một biến:

Khi chuyển một số từ phần này sang phần khác của bất đẳng thức, hãy đổi dấu của nó thành phần ngược lại.
Khi nhân hoặc chia các phần của một bất đẳng thức với một số âm, dấu của chúng sẽ bị đảo ngược.
Nếu bạn nhân hoặc chia cả hai vế của bất đẳng thức với một số dương, bạn sẽ nhận được bất đẳng thức bằng giá trị ban đầu.

Giải bất phương trình có nghĩa là tìm tất cả các giá trị hợp lệ cho một biến.

Ví dụ về biến đơn:

10x - 50 > 150

Chúng tôi giải nó giống như một phương trình tuyến tính thông thường - chúng tôi di chuyển các số hạng có biến sang trái, không có biến - sang phải và đưa ra các số hạng tương tự:

10x > 200

Chúng ta chia cả hai vế của bất đẳng thức cho 10 và được:

x > 20

Để rõ ràng, trong ví dụ về giải bất phương trình với một biến, hãy vẽ một trục số, đánh dấu điểm xuyên qua 20 trên đó, vì bất đẳng thức nghiêm ngặt và con số này không có trong tập nghiệm của nó..

Nghiệm của bất phương trình này là khoảng (20; + ∞).

Lời giải của một bất đẳng thức không nghiêm ngặt được thực hiện theo cùng một cách với một bất đẳng thức nghiêm ngặt:

6x - 12 ≧ 18

6x ≧ 30

x ≧ 5

Nhưng có một ngoại lệ. Bản ghi có dạng x ≧ 5 nên được hiểu như sau: x lớn hơn hoặc bằng năm, có nghĩa làsố năm được bao gồm trong tập hợp tất cả các nghiệm của bất phương trình, tức là khi viết câu trả lời, chúng ta đặt một dấu ngoặc vuông phía trước số năm.

x ∈ [5; + ∞)

Bất đẳng thức bình phương

Nếu ta lấy một phương trình bậc hai có dạng ax2+ bx + c=0 và đổi dấu bằng thành dấu bất phương trình trong đó, thì ta sẽ thu được a bất đẳng thức bậc hai.

Để giải bất phương trình bậc hai, bạn cần có khả năng giải phương trình bậc hai.

y=ax2+ bx + c là hàm số bậc hai. Chúng ta có thể giải nó bằng cách sử dụng phân biệt hoặc sử dụng định lý Vieta. Nhớ lại cách giải các phương trình này:

1) y=x2+ 12x + 11 - hàm là một parabol. Các nhánh của nó hướng lên trên, vì dấu của hệ số "a" là dương.

2) x2+ 12x + 11=0 - bằng 0 và giải bằng cách sử dụng phân biệt.

a=1, b=12, c=11

D=b2- 4ac=144 - 44=100 > 0, 2 căn

Theo công thức nghiệm nguyên của phương trình bậc hai, ta được:

x₁=-1, x_2=-11

Hoặc bạn có thể giải phương trình này bằng định lý Vieta:

x₁+ x₂=-b / a, x₁+ x_2=-12

x₁x₂=c / a, x₁x₂₌₁₁

Sử dụng phương pháp lựa chọn, chúng ta thu được cùng một nghiệm nguyên của phương trình.

Parabol

Vì vậy, cách đầu tiên để giải bất phương trình bậc hai là một parabol. Thuật toán để giải nó như sau:

1. Xác định hướng các nhánh của parabol.

2. Lập phương trình hàm bằng 0 và tìm nghiệm nguyên của phương trình.

3. Chúng tôi xây dựng một trục số, đánh dấu các gốc trên đó, vẽ một parabol và tìm khoảng trống mà chúng tôi cần, tùy thuộc vào dấu của bất đẳng thức.

Giải bất phương trình x2+ x - 12 > 0

Viết ra dưới dạng một hàm:

1) y=x2+ x - 12 - parabol, nhánh lên.

Đặt thành số không.

2) x2+ x -12=0

Tiếp theo, chúng ta giải phương trình bậc hai và tìm các giá trị không của hàm:

x₁=3, x_2=-4

3) Vẽ một trục số có điểm 3 và -4 trên đó. Parabol sẽ đi qua chúng, phân nhánh lên và câu trả lời cho bất đẳng thức sẽ là một tập hợp các giá trị dương, nghĩa là, (-∞; -4), (3; + ∞).

Phương pháp ngắt quãng

Cách thứ hai là phương pháp khoảng cách. Thuật toán để giải nó:

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình mà bất phương trình bằng 0.

2. Chúng tôi đánh dấu chúng trên dãy số. Do đó, nó được chia thành nhiều khoảng thời gian.

3. Xác định dấu của bất kỳ khoảng nào.

4. Chúng tôi đặt các dấu hiệu vào các khoảng thời gian còn lại, thay đổi chúng sau một khoảng thời gian.

Giải bất phương trình (x - 4) (x - 5) (x + 7) ≦ 0

1) Các số không bất đẳng thức: 4, 5 và -7.

2) Vẽ chúng trên trục số.

3) Xác định các dấu hiệu của khoảng.

Đáp án: (-∞; -7]; [4; 5].

Giải thêm một bất phương trình: x2(3x - 6) (x + 2) (x - 1) > 0

1. Các số không bất đẳng thức: 0, 2, -2 và 1.

2. Đánh dấu chúng trên dãy số.

3. Xác định dấu hiệu khoảng.

Dòng được chia thành các khoảng - từ -2 đến 0, từ 0 đến 1, từ 1 đến 2.

Lấy giá trị trên khoảng đầu tiên - (-1). Thay thế trong bất bình đẳng. Với giá trị này, bất đẳng thức trở thành dương, có nghĩa là dấu trên khoảng này sẽ là +.

Hơn nữa, bắt đầu từ khoảng trống đầu tiên, chúng tôi sắp xếp các biển báo, thay đổi chúng sau một.

Bất đẳng thức lớn hơn 0, tức là bạn cần tìm một tập các giá trị dương trên dòng.

Đáp án: (-2; 0), (1; 2).

Hệ phương trình

Hệ phương trình có hai biến là hai phương trình được nối bằng dấu ngoặc nhọn cần tìm nghiệm chung.

Hệ thống có thể tương đương nếu giải pháp chung của một trong số chúng là giải pháp của hệ kia hoặc cả hai đều không có giải pháp.

Chúng ta sẽ nghiên cứu nghiệm của hệ phương trình hai biến. Có hai cách để giải chúng - phương pháp thay thế hoặc phương pháp đại số.

Phương pháp đại số

Để giải hệ thống hiển thị trong hình bằng phương pháp này, trước tiên bạn phải nhân một trong các phần của nó với một số như vậy, để sau này bạn có thể hủy lẫn nhau một biến từ cả hai phần của phương trình. Ở đây chúng ta nhân với ba, vẽ một đường thẳng dưới hệ thống và cộng các phần của nó. Kết quả là, x trở nên giống hệt nhau về môđun, nhưng ngược dấu và chúng ta giảm chúng. Tiếp theo, chúng tôi nhận được một phương trình tuyến tính với một biến và giải nó.

Chúng tôi đã tìm thấy Y, nhưng chúng tôi không thể dừng lại ở đó, vì chúng tôi chưa tìm thấy X. Thay thếY đến phần mà từ đó sẽ thuận tiện để rút X, ví dụ:

-x + 5y=8, với y=1

-x + 5=8

Giải phương trình kết quả và tìm x.

-x=-5 + 8

-x=3

x=-3

Điều chính trong giải pháp của hệ thống là viết ra câu trả lời một cách chính xác. Nhiều học sinh mắc lỗi viết:

Trả lời: -3, 1.

Nhưng đây là một mục nhập sai. Xét cho cùng, như đã đề cập ở trên, khi giải một hệ phương trình, chúng ta đang tìm kiếm một giải pháp tổng quát cho các phần của nó. Câu trả lời đúng sẽ là:

(- 3; 1)