Một trong những chủ đề khó hiểu và khó hiểu nhất của toán học đại học là tích phân và phép tính vi phân. Bạn cần biết và hiểu những khái niệm này, cũng như có thể áp dụng chúng. Nhiều ngành kỹ thuật đại học gắn liền với vi phân và tích phân.
Thông tin ngắn gọn về phương trình
Những phương trình này là một trong những khái niệm toán học quan trọng nhất trong hệ thống giáo dục. Phương trình vi phân là phương trình liên hệ giữa các biến độc lập, hàm cần tìm và các đạo hàm của hàm đó với các biến được giả định là độc lập. Phép tính vi phân để tìm một hàm của một biến được gọi là thông thường. Nếu hàm mong muốn phụ thuộc vào một số biến, thì một hàm nói về phương trình vi phân riêng.
Trên thực tế, việc tìm một đáp số nhất định cho phương trình sẽ dẫn đến tích phân và phương pháp giải được xác định bởi loại phương trình.
Phương trình bậc nhất
Phương trình vi phân cấp một là phương trình có thể mô tả một biến, một hàm mong muốn và đạo hàm cấp một của nó. Các phương trình như vậy có thể được đưa ra ở ba dạng: rõ ràng, ngầm định, vi phân.
Khái niệm cần thiết để giải quyết
Điều kiện ban đầu - đặt giá trị của hàm mong muốn cho một giá trị nhất định của một biến độc lập.
Nghiệm của phương trình vi phân - bất kỳ hàm phân biệt nào, được thay thế chính xác vào phương trình ban đầu, sẽ biến nó thành bằng nhau. Nghiệm thu được, không rõ ràng, là tích phân của phương trình.
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là một hàm y=y (x; C), có thể thỏa mãn các phán đoán sau:
- Một hàm chỉ có thể có một hằng số tùy ý С.
- Hàm kết quả phải là một nghiệm của phương trình cho bất kỳ giá trị tùy ý nào của một hằng số tùy ý.
- Với một điều kiện ban đầu đã cho, một hằng số tùy ý có thể được định nghĩa theo một cách duy nhất để giải pháp cụ thể thu được sẽ phù hợp với điều kiện ban đầu ban đầu đã cho.
Trong thực tế, bài toán Cauchy thường được sử dụng - tìm một giải pháp cụ thể và có thể so sánh với điều kiện đã đặt ở đầu.
Định lý Cauchy là một định lý nhấn mạnh sự tồn tại và tính duy nhất của một nghiệm cụ thể trong phép tính vi phân.
Cảm quan hình học:
- Nghiệm tổng quát y=y (x; C)phương trình là tổng số đường cong tích phân.
- Phép tính vi phân cho phép bạn kết nối tọa độ của một điểm trong mặt phẳng XOY và tiếp tuyến được vẽ với đường cong tích phân.
- Đặt điều kiện ban đầu có nghĩa là thiết lập một điểm trên mặt phẳng.
- Để giải bài toán Cauchy có nghĩa là từ toàn bộ tập hợp các đường cong tích phân biểu diễn cùng một nghiệm của phương trình, cần chọn một đường duy nhất đi qua điểm duy nhất có thể.
- Việc thỏa mãn các điều kiện của định lý Cauchy tại một điểm có nghĩa là một đường cong tích phân (hơn nữa, chỉ một) nhất thiết phải đi qua điểm đã chọn trong mặt phẳng.
Phương trình biến số riêng
Theo định nghĩa, phương trình vi phân là phương trình trong đó vế phải của nó mô tả hoặc được phản ánh dưới dạng tích (đôi khi là tỷ lệ) của hai hàm, một hàm chỉ phụ thuộc vào "x" và hàm kia - chỉ phụ thuộc vào "y ". Một ví dụ rõ ràng cho loại này: y '=f1 (x)f2 (y).
Để giải các phương trình có dạng cụ thể, trước tiên bạn phải biến đổi đạo hàm y '=dy / dx. Sau đó, bằng cách thao tác với phương trình, bạn cần đưa nó về một dạng mà bạn có thể tích hai phần của phương trình. Sau các phép biến đổi cần thiết, chúng tôi tích hợp cả hai phần và đơn giản hóa kết quả.
Phương trình thuần nhất
Theo định nghĩa, một phương trình vi phân có thể được gọi là thuần nhất nếu nó có dạng sau: y '=g (y / x).
Trong trường hợp này, thay thế y / x=thường được sử dụng nhấtt (x).
Để giải các phương trình như vậy, cần phải thu gọn một phương trình thuần nhất về dạng có các biến có thể phân tách được. Để thực hiện việc này, bạn phải thực hiện các thao tác sau:
- Hiển thị, biểu diễn đạo hàm của hàm ban đầu, từ bất kỳ hàm ban đầu nào dưới dạng một phương trình mới.
- Bước tiếp theo là biến đổi hàm kết quả thành dạng f (x; y)=g (y / x). Nói cách đơn giản hơn, hãy lập phương trình chỉ chứa tỷ lệ y / x và các hằng số.
- Thực hiện thay thế sau: y / x=t (x); y=t (x)x; y '=t'x + t. Phép thay thế được thực hiện sẽ giúp chia các biến trong phương trình, dần dần đưa nó về dạng đơn giản hơn.
Phương trình tuyến tính
Định nghĩa của các phương trình như sau: phương trình vi phân tuyến tính là phương trình trong đó vế phải của nó được biểu diễn dưới dạng biểu thức tuyến tính đối với hàm gốc. Hàm mong muốn trong trường hợp này: y '=a (x)y + b (x).
Hãy diễn đạt lại định nghĩa như sau: bất kỳ phương trình bậc 1 nào sẽ trở thành tuyến tính ở dạng của nó nếu hàm gốc và đạo hàm của nó được đưa vào phương trình bậc nhất và không nhân với nhau. "Dạng cổ điển" của phương trình vi phân tuyến tính có cấu trúc như sau: y '+ P (x) y=Q (x).
Trước khi giải một phương trình như vậy, nó nên được chuyển về "dạng cổ điển". Bước tiếp theo sẽ là lựa chọn phương pháp giải: phương pháp Bernoulli hoặc phương pháp Lagrange.
Giải phương trình vớisử dụng phương pháp do Bernoulli giới thiệu, ngụ ý thay thế và rút gọn một phương trình vi phân tuyến tính thành hai phương trình có các biến riêng biệt liên quan đến các hàm U (x) và V (x), được cho ở dạng ban đầu.
Phương pháp Lagrange là tìm một nghiệm tổng quát cho phương trình ban đầu.
- Cần tìm nghiệm tương tự của phương trình thuần nhất. Sau khi tìm kiếm, chúng ta có hàm y=y (x, C), trong đó C là một hằng số tùy ý.
- Chúng tôi đang tìm một nghiệm cho phương trình ban đầu ở dạng tương tự, nhưng chúng tôi coi C=C (x). Chúng ta thay hàm y=y (x, C (x)) vào phương trình ban đầu, tìm hàm C (x) và viết ra nghiệm của phương trình ban đầu tổng quát.
Phương trình Bernoulli
Phương trình Bernoulli - nếu vế phải của phép tính có dạng f (x; y)=a (x) y + b (x) yk, trong đó k là bất kỳ giá trị số hữu tỉ khả dĩ nào, không nhận như một các trường hợp ví dụ khi k=0 và k=1.
Nếu k=1, thì phép tính có thể tách được và khi k=0, phương trình vẫn tuyến tính.
Chúng ta hãy xem xét trường hợp tổng quát của việc giải loại phương trình này. Chúng ta có phương trình Bernoulli tiêu chuẩn. Nó phải được giảm xuống một tuyến tính, vì điều này bạn cần phải chia phương trình cho yk. Sau thao tác này, thay z (x)=y1-k. Sau một loạt các phép biến đổi, phương trình sẽ được rút gọn thành tuyến tính, thường là bằng phương pháp thay thế z=UV.
Phương trình trong tổng sai phân
Định nghĩa. Phương trình có cấu trúc P (x; y) dx + Q (x; y) dy=0 được gọi là phương trình đầy đủvi phân, nếu điều kiện sau được đáp ứng (trong điều kiện này, "d" là vi phân riêng): dP (x; y) / dy=dQ (x; y) /dx.
Tất cả các phương trình vi phân bậc nhất đã xét trước đó có thể được hiển thị dưới dạng vi phân.
Các phép tính như vậy được giải quyết theo một số cách. Tuy nhiên, tất cả đều bắt đầu bằng việc kiểm tra tình trạng. Nếu điều kiện được thỏa mãn, thì miền ngoài cùng bên trái của phương trình là vi phân toàn phần của hàm chưa biết U (x; y). Khi đó, theo phương trình, dU (x; y) sẽ bằng 0 và do đó, cùng một tích phân của phương trình trong tổng vi phân sẽ được hiển thị ở dạng U (x; y) u003d C. Do đó, nghiệm của phương trình được rút gọn để tìm hàm U (x; y).
Yếu tố tích hợp
Nếu trong phương trình không thỏa mãn điều kiện dP (x; y) / dy=dQ (x; y) / dx thì phương trình không có dạng mà ta đã xét ở trên. Nhưng đôi khi có thể chọn một số hàm M (x; y), khi nhân với nó, phương trình có dạng một phương trình đầy đủ "diffurs". Hàm M (x; y) được gọi là thừa số tích phân.
Chỉ có thể tìm thấy một tích phân khi nó trở thành một hàm của một biến duy nhất.
